Dimensionsreduktion
Variationsrechnung
Überblick
Polykonvexität – die Konvexität einer Energiedichte in allen Minoren ihres Matrixarguments – ist eine zentrale Strukturbedingung der nichtlinearen Elastizitätstheorie, da sie die Existenz von Minimierern sichert. Im Allgemeinen ist sie jedoch schwer nachzuprüfen, weil der konvexe Repräsentant in einem hochdimensionalen Raum lebt.
Für isotrope Energiedichten zeigen wir, dass es genügt, Diagonalmatrizen zu betrachten. Der konvexe Repräsentant muss dann nur noch von den Diagonaleinträgen und deren Produkten abhängen. In drei Dimensionen reduziert sich dadurch die Dimension des konvexen Repräsentanten von \(\mathbb{R}^{19}\) auf \(\mathbb{R}^{7}\), was sowohl den analytischen als auch den numerischen Nachweis von Polykonvexität erheblich vereinfacht. Zusätzlich enthält die Arbeit ein neues Polykonvexitätskriterium für Funktionen, die über Hauptinvarianten des linken oder rechten Strecktensors dargestellt sind.